绪论
教学内容
1. 数学的基本特征
2. 数学发展简史
3. 学习数学的目的
4. 高等数学的内容
5. 学习建议
6. 参考书目
一. 数学的基本特征
1. 研究对象的高度抽象性
数学的研究对象，如数（包括自然数、负数、无理数、实数、复数等在数学研究中出现的概念）、点、线、面、空间、流形等，其中初等的概念如自然数、点、线、面，是从人的直接生活经验与生产活动中抽象得来，而更抽象的概念如负数、实数、复数、空间、流形等是从人类的科学研究（当然包括数学研究）、科学实验以及复杂的技术过程中抽象而来，它们超出了普通人的直接经验，也超出了自然现象的范畴（像物理或化学的研究对象）.
2. 论证方法的演绎性
数学理论是严谨的形式体系，其中包括定义、公理、定理，定义用来规范和界定数学理论中的各种术语的内涵，公理是指那些不须证明的基本假设，定理是由定义与公理经过演绎推理得出的数学命题，通常由条件和结论两部分构成.
数学理论是数学研究的最终结果，数学研究中，实验、归纳、类比、猜想（猜测和假象）等方法都可使用，且都是一些常用的重要手段，但数学定理只能根据定义与公理按照形式逻辑推演得出，没有经过演绎论证（即证明）的命题只是猜想.
3. 应用的极端广泛性
数学是各门科学的语言.
数学与物理的关系: 数学为物理提供了描述自然现象与规律的语言和工具, 物理为数学概念的建立提供了原型.
二. 数学发展简史
1. 公元前600年以前: 数学形成时期
人类在这一漫长的历史时期中逐渐掌握了计数知识, 具有了初步的算术, 积累了几何方面的片段知识.
2. 公元前600年至17世纪中叶: 初等数学时期
形成了相对完整系统的几何知识, 标志是欧几里得的几何原本
代数、三角、对数成为独立学科，有了较完整系统理论
此时期的一个重大事件是无理数的发现，此发现动摇了毕达哥拉斯学派的逻辑基础（万物皆数（自然数），任何量都可由正整数表示（公度）），被称为第一次数学危机，此危机后由希腊数学家Eudoxus提出的办法得以克服.
3. 17世纪中叶至19世纪二十年代: 变量数学时期
此时期的主要标志, 一是笛卡尔与费马引入坐标并建立的解析几何的观念, 它沟通了数学中两个基本研究对象数与形之间的关系, 用代数运算去处理几何问题; 二是牛顿和莱布尼兹两人独立创立的微积分, 他们为变量建立了一种新型有效的运算规则,去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率(微商), 以及在自变量的某个变化过程中因变量的某种整体积累(积分), 并发现了二者之间的互逆关系. 微积分为一大批几何问题和力学问题提供了有效地解决方法, 从而震撼了整个学术界, 影响深远.
微积分发明初期有严重的逻辑混乱, 其面临的逻辑基础危机被称为第二次数学危机, 一百多年后经过柯西(Cauchy)、戴德金（Dedekind）、康托尔（Cantor）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等人的努力,引入极限概念,建立了实数理论, 才得以克服.
4. 19世纪二十年代至20世纪40年代: 近代数学时期
主要标志: 一是罗巴切夫斯基几何的诞生标志着几何从欧几里得的几何原本中解放出来; 二是阿贝尔和伽罗瓦的群伦, 产生了近世代数; 三是在微积分基础上发展起来的微分几何、复变函数、拓扑学形成新的学科; 四是非欧几何的出现促进了人们对数学基础的研究, 对公理体系、集合论的研究吸引了很多人的注意力.
5. 20世纪40年代至今: 现代数学时期
由于图灵和冯.诺伊曼发明计算机, 应用数学形成或发展了很多分支, 如计算数学、控制理论、运筹学、数学物理、经济数学、概率论与数理统计等；数学的核心部分，如数理逻辑、数论与代数、几何与拓扑、函数论与泛函分析及微分方程等学科，则向着更抽象更综合的方向发展.
三. 学习数学的目的
1. 提高数学素养：
分析问题解决问题的能力、抽象事物的能力、逻辑推理能力
2. 培养探索精神和创新精神.
3. 为进一步学习有关数学进阶课程和相关专业课程学习打下良好的高等数学基础.
四. 高等数学的内容
高等数学主要研究有限维空间集合间的映射，研究各种映射（特别是三维以下的映射）的微分与积分，并利用微积分工具对空间中的曲线与曲面做初步研究，以及若干微积分延伸内容（如常微分方程）, 基本属于17世纪中叶至19世纪二十年代的变量数学, 是理解力学,电磁学等物理学科的必备知识, 是进一步学习近代或现代数学或物理学,工学,计算机科学,经济学,生物学,化学的基础．
五. 学习建议
1. 深刻把握基本概念的内涵和外延（正反例）.
2. 认真做练习，熟练掌握极限、求导、积分这些基本运算.
3. 勤于思考，善于总结，特别要注重逻辑的严谨性（表述的准确性和论证推理的严密性）.
六. 参考书目
1. 郭大钧等，数学分析，高等教育出版社.
2. 吉米多维奇，高等数学习题集，高等教育出版社.