理论力学

《理论力学》是一门理论性较强的基础课，主要研究机械运动规律，内容包括牛顿力学和分析力学，其中分析力学是本课程的重点。本课程主要阐明分析力学的知识体系、基本原理和处理问题的一般方法，使学生掌握分析力学的思想和方法，培养学生的数理逻辑性和解决科学问题的思路，并为将来的学习和研究打下基础。

本课程面向物理学前沿交叉创新实验班的学生。由于先期课程普通力学部分学生是在不同学院修的，学时、要求可能有所不同，因此本课程没有直接从最小作用量原理讲起，而是首先回顾了一下矢量力学，然后过渡到分析力学。在授课过程中，也根据物理学前沿交叉创新实验班的课程设计，注意跟其他课程的关联。

主要包括四个部分：

• Part 1. 矢量力学

  以力为中心，以牛顿第二定律为基础，借助于矢量分析、数学分析，处理力学系统的平衡、运动等问题。矢量力学的优点是直观，特是在直角坐标系下，通过受力分析，很容易得到运动方程。但是在很多问题的处理例如有约束的问题时，运动方程比较复杂，求解困难。另外与牛顿第二定律在直角坐标系简洁的形式相比，在非直角坐标系形式要复杂很多，也就是说牛顿第二定律是具有转动、平移变换下的协变性，对一般的坐标变换下并不具有协变性。

• Part 2. 拉格朗日力学

  以最小作用量原理为基本原理，根据拉格朗日方程，采用数学分析的方法处理力学问题。与矢量力学相比，减少了复杂的矢量运算，同时采用更灵活的广义坐标，使得很多力学问题的处理更简单。同时拉格朗日方程对任意的（独立的）广义坐标都是成立的，所以具有很好的协变性。

• Part 3. 哈密顿力学

  以相空间的最小作用量原理为基本原理，根据哈密顿正则方程，研究系统在相空间的演化。对于一个自由度为 n 的系统，拉格朗日方程是 n 个二阶微分方程，主要研究系统在物理空间（位形空间或坐标空间）中的运动；而哈密顿方程是2n 个一阶微分方程，主要研究系统在状态空间（相空间）中的演化。哈密顿力学是与拉格朗日力学等价的，但是独立的完整的力学体系。

• Part 4. 哈密顿-雅可比方程

  与拉格朗日方程、哈密顿方程相比，哈密顿-雅克比方程是一个关于二阶的偏微分方程组，方程形式简单，但因为是多变量的偏微分方程，求解困难。对于某些系统，可以采用分离变量的方法求解。虽然求解复杂，但是质点运动的哈密顿-雅克比方程却和几何光学的传播方程具有相同的形式，或者说哈密顿-雅克比方程是一个把粒子按照波来处理的方程。这对于理解量子力学中的波粒二象性、薛定谔方程有重要意义。

讲义共分为12个章节[讲义，作业答案]：

• 第 0 章 矢量分析

• 第 1 章 矢量力学

• 第 2 章 从矢量力学到拉格朗日方程

• 第 3 章 变分法与拉格朗日方程

• 第 4 章 中心力

• 第 5 章 小振动

• 第 6 章 刚体力学

• 第 7 章 哈密顿力学

• 第 8 章 正则变换

• 第 9 章 哈密顿 - 雅可比方程

• 第 10 章 狭义相对论

• 第 11 章 经典场论