李良攀，生于湖北武汉，现为山东大学数学学院教授，主要从事分析方向微分算子谱理论方面的研究。
过往我曾经在华中科技大学，南开大学陈省身数学研究所（博士生导师为中国科学院院士方复全教授），上海交通大学，美国Texas State University，英国Loughborough University学习或者工作过。

Email: liliangpan@sdu.edu.cn, liliangpan@gmail.com

泰山学堂《数学分析（1）》主要教学内容：（1）实数的十进制构造以及实数系若干基本定理，（2）数列的收敛性与函数的连续性（含判定级数收敛的Dirichlet-Abel判别法，集合的基数理论[Cantor-Schroder-Bernstein定理]，一致收敛），（3）三角函数的定义及基本性质的演绎，（4）欧氏空间的拓扑，（5）一元微分学（含实解析函数，幂级数的收敛半径与逐项求导定理），（6）一元积分学（含各种推广与应用），（7）欧氏空间中的勒贝格测度理论

泰山学堂《数学分析（2）》主要教学内容：（1）Fourier级数 （Holder连续性，单调连续函数的线性组合），（2）级数，（3｝函数项级数，（4）多元微分学（开映射定理 逆映射定理 隐映射定理 Hadamard微分定理 平面曲线的曲率 调和函数的Fermi坐标表示），（5）多元积分学 （Fermi coordinates）

去年秋季学期是我第六次在祖国为特殊拔尖人才群体讲授《数学分析（1）》（上海交通大学ACM试点班07，08，10级，山东大学泰山学堂数学取向22，23，24级）。

2025年春季学期泰山学堂《数学分析（2）》将尝试使用Duistermaat & Kolk的教材作为课程主要参考书。北京大学伍胜健(第二卷第7.6.6节曲线弧长的推导极其糟糕，没达到数学分析课程应有的标准)和苏州大学谢惠民等编著的数学分析教材或讲义将继续使用。

数学分析（2）教学内容：卷积，Weierstrass逼近定理, Wallis formula, Stirling formula, 光滑曲线的弧长，极坐标下区域的面积， 北师大pp. 230--231，定积分的数值方法，振荡积分简单实例，圆周上的热方程，Bessel inequality，Parseval identity，Fourier级数唯一性（by Parseval），Fourier正弦与余弦级数，Fourier级数的逐项积分定理（by Parseval），整体与局部Holder连续性对Fourier级数收敛性的影响（研究一致收敛需引入定量上界估计版Riemann引理），积分第二中值定理，整体（含有界变差函数）与局部单调性对于Fourier级数收敛性的影响， 从分段线性函数到Parseval identity（see 梅加强），具有瑕点的平方可积函数的Parseval identity（模仿梅加强），Fourier级数的综合应用（连续函数在某点具有发散Fourier级数的构造，等周不等式，圆周上的热方程），非负级数的重排定理（重要性排名第一），面积比较原理，正项级数收敛的若干判别法（Cauchy，D`Alembert，Raabe，Gauss），Riemann重排定理，Leibniz级数，Dirichlet-Abel判别法（重要性排名第二），无最慢发散/最快收敛收敛定理，Cauchy乘积，Mertens定理，无穷乘积，Abel求和法（正向Abel引理，反向Tauber第一定理），Cesaro求和，一致收敛（数分1内容） ，Weierstrass-M判别法（数分1内容），Dirichlet-Abel判别法，Dini定理（数分1内容），给定一列函数何时求导与极限可交换？开集，闭集（关于点列收敛运算是封闭的集合），紧集（有限开覆盖），一般集合上连续函数的基本性质（当定义域是开集，闭集，或紧集时有各自对应特殊基本性质），集合的距离函数，即开又紧的集合，即开又闭的集合，方向导数，偏导数，映射的可微性，可微性的Hadamard刻画定理（see Duistermaat-Kolk）, 可微映射的复合法则，平面调和方程的极坐标形式，多元函数的梯度，曲线的切向量，3维空间中2维曲面的法向量，2阶微分就是所有分量函数的全体二阶偏导数组装成的某个特定对象，一阶偏导皆连续则必定可微，关于二阶混合偏导数的Clairaut-Schwarz定理，多元函数的微分中值定理，向量值Newton-Leibniz公式（如此自然的公式在流行数学分析教材里面都没有，浑浑噩噩都在重复别人的脚步），映射的拟微分平均值定理，隐函数定理，解具有一个约束条件下极值问题的Lagrange乘子法，标准开映射定理（without critical points），二维及以上维数欧氏空间中具有有限临界点的开映射定理，代数基本定理的拓扑学证明，逆映射定理，曲线的曲率，Fermi坐标，隐映射定理，再论Lagrange乘子法

逆映射定理（InFT）与隐映射定理（ImFT）是数学分析课程多元微分学部分最重要的两个孪生数学定理，它们的证明和谐统一：第一步利用向量值 Newton-Leibniz证明局部为单射（InFT）或局部截面映射是单射（ImFT），第二步运用平方函数采用反证法论证存在性，第三步重复之前的操作手法但需要适当缩小论证区域以变通得到某种形式的epsilon来论证连续性，第四步计算反函数（InFT）或解映射（ImFT）的方向导数，第五步通过研究偏导数的计算公式来确立最终的 C^1结论。

伍胜健（第二册202页定理10.4.4）与梅加强（定理8.2.5）：你们的证明展示了微分学的强大威力，但是你们勾画出来的细节并没有过多的教益，并且约定导函数一致收敛这一过于苛刻的条件，没有看透在这种情形下应该提倡自然使用Newton-Leibniz公式。

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