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博客标题：动态弹性力学方程的混合元方法
内容：

一、模型

弹性力学研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布。当问题涉及随时间变化的外力或初始扰动时，我们需要考虑动态弹性力学方程，也称为弹性波方程。这类方程广泛应用于地震波传播模拟、超声波成像、结构动力学以及冲击响应分析等领域.

在一个区域 Ω⊂Rd上，控制方程为

二、时间–空间混合元模型

1. 时间一阶化

原方程是二阶时间系统。为了便于数值求解和能量分析，我们引入新的变量 速度 v=∂_tu。这样，系统可以改写为一阶形式：

2. Hellinger–Reissner 变分形式

为了在有限元框架下处理位移和应力，我们采用 Hellinger–Reissner 变分原理。该原理同时引入位移 u 与应力 σ作为独立未知量，建立如下弱式：

三、Arnold–Winther (AW) 基底与空间离散

Arnold–Winther (AW) 元是一类专为 对称应力张量 构造的 H(div)-保守有限元空间。其主要特点是：

• 应力近似是对称的；

• 应力的散度属于位移空间，从而保证混合形式的稳定性；

• 在二维最低阶AW0 元中，自由度包括顶点应力值、边上法向分量矩，以及若干内部矩。

这种构造避免了传统位移元中应力精度不足的问题，是弹性混合有限元方法的核心。

四、Cook's Membrane 算例介绍

Cook 膜问题最早由 Robert D. Cook 在 提出，是一个典型的二维薄板受力算例。几何区域是一个梯形薄膜：

• 左边界竖直并固定（全约束），

• 右边界为一条斜线，向上逐渐变宽，

• 高度通常取 44，左宽 16，右宽 48。

区域形状类似一个向右张开的梯形膜。

数值结果如下：

动态变化过程，如下：

发布时间：2025-09-17